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NOIP2009 Hankson的趣味题 解题报告

  • OI路程

Hanks 博士是BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫Hankson。现在,刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x 满足:
1. x 和a0 的最大公约数是a1;
2. x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的x 并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

第一行为一个正整数n,表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据,为四个正整数a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除,b1 能被b0 整除。
【数据范围】
对于 50%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。
对于每组数据:若不存在这样的 x,请输出0;
【说明】
第一组输入数据,x 可以是9、18、36、72、144、288,共有6 个。
第二组输入数据,x 可以是48、1776,共有2 个。
若存在这样的 x,请输出满足条件的x 的个数;

====================================华丽的分割线====================================

题目如上,我一开始的思路是把所有a1的倍数都枚举一次,然后用b1作为上限。

但是估计会超时,就没下手,网上查了一下,有人用我这个思路,50分!!!以后我还是有思路就尝试下吧。。
后来看了另外的思路,任何数都能够表示成素数之和,如:5=5^1,, 6 = 2^13^1,, 8 = 2^3等等。
然后是最大公倍数=2^min(x1, y1)
3^min(x2, y2)……
最小公倍数=2^max(x1, y1)
3^max(x2, y2)*……
代码等下写上来.

代码如下:

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define bzero(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define MAX 10000
int prime[MAX], count[MAX], num[MAX];
int tot, t;

int hcf(int a, int b)
{
 int t;
 while(b){
 t = b;
 b = a % t;
 a = t;
 }
 return a;
}

void dfs(int now, int sum)
{
 int i, n;
 if(now == t){
 num[tot++] = sum;
 return ;
 }
 dfs(now + 1, sum);
 for(i = 0; i < count[now]; i++){
 sum *= prime[now];
 dfs(now + 1, sum);
 }
}

void work(int n)
{
 int i = 2;
 int limit = sqrt(n);
 while(i <= limit){
 if(n % i == 0){
 prime[t] = i;
 count[t] = 0;
 do{
 count[t]++;
 n /= i;
 }while(n % i == 0);
 t++;
 limit = sqrt(n);
 }
 i++;
 }
 if(n != 1){
 prime[t] = n;
 count[t++] = 1;
 }
 dfs(0, 1);
}

int main(void)
{
 int n;
 int a0, a1, b0, b1;
 int i, j;
 int ans;
 scanf(%d, &n);
 for(i = 0; i < n; i++){
 scanf(%d%d%d%d, &a0, &a1, &b0, &b1);
 bzero(num);
 bzero(count);
 bzero(prime);
 tot = t = 0;
 work(b1);
 ans = 0;
 for(j = 0; j < tot; j++){
 // 这里的变量我用的都是i...+_^
 if((hcf(num[j], a0) == a1) &&
 ((num[j] / hcf(num[j], b0) * b0) == b1)){
 //必须写成上面这样, 而不是 num[j] * b0 / hcf(num[j], b0).
 //找了我两个多小时, 原来是先相乘的话会超过int的范围, 
 //而先除的话就不会超范围了 
 ans++;
 }
 }
 printf(%d\\n, ans);
 }
 return 0;
}
 忽然想到了剪枝地方法,直接寻找所有与b0的最小公倍数是b1的数字,代码如下:
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define bzero(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define MAX 10000
int prime[MAX], count[MAX], num[MAX];
int tot, t;
int a0, a1, b0, b1;

int hcf(int a, int b)
{
 int t;
 while(b){
 t = b;
 b = a % t;
 a = t;
 }
 return a;
}

void dfs(int now, int sum)
{
 int i, n, r;
 if(now == t){
 num[tot++] = sum;
 return ;
 }
 n = 0;
 r = prime[now];
 while(b0 % (r) == 0 && n < count[now]){ //剪枝, 使程序更上一层楼
 //这里直接寻找和b0的公约数是b1的数字 
 r *= prime[now];
 n++;
 }
 if(n < count[now]){
 while(n + 1 < count[now]){
 r *= prime[now];
 n++;
 }
 dfs(now + 1, sum * r);
 return ;
 }

 dfs(now + 1, sum);
 for(i = 0; i < count[now]; i++){
 sum *= prime[now];
 dfs(now + 1, sum);
 }
}

void work(int n)
{
 int i = 2;
 int limit = sqrt(n);
 while(i <= limit){
 if(n % i == 0){
 prime[t] = i;
 count[t] = 0;
 do{
 count[t]++;
 n /= i;
 }while(n % i == 0);
 t++;
 limit = sqrt(n);
 }
 i++;
 }
 if(n != 1){
 prime[t] = n;
 count[t++] = 1;
 }
 dfs(0, 1);
}

int main(void)
{
 int n;
 int i, j;
 int ans;
 scanf(%d, &n);
 for(i = 0; i < n; i++){
 scanf(%d%d%d%d, &a0, &a1, &b0, &b1);
 bzero(num);
 bzero(count);
 bzero(prime);
 tot = t = 0;
 work(b1);
 ans = 0;
 for(j = 0; j < tot; j++){
 // 这里的变量我用的都是i...+_^
/* if((hcf(num[j], a0) == a1) &&
 ((num[j] / hcf(num[j], b0) * b0) == b1)){*/
 //必须写成上面这样, 而不是 num[j] * b0 / hcf(num[j], b0).
 //找了我两个多小时, 原来是先相乘的话会超过int的范围, 
 //而先除的话就不会超范围了

 //当程序优化之后上面的判断就变成了下面的判断:
 if(hcf(num[j], a0) == a1){
 ans++;
 }
 }
 printf(%d\\n, ans);
 }
 return 0;
}

忽然又想到了一些剪枝,我还尝试一下。

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